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若函數y=f（x）對于一切實數x，y，都有f（x+y）=f（x）+f（y），
（1）求f（0）并證明y=f（x）是奇函數；
（2）若f（1）=3，求f（-3）．

分析：（1）令x=y=0，可解得f（0）=0，再令y=-x，即可證得y=f（x）是奇函數；
（2）利用f（1）=3，f（x+y）=f（x）+f（y），可求得f（3），再利用y=f（x）是奇函數即可求得f（-3）的值．

解答：證明：（1）令x=y=0，則f（0+0）=f（0）+f（0），
解得f（0）=0；
令y=-x，得f（0）=f（x）+f（-x），即f（-x）=-f（x），
∴y=f（x）是奇函數；
（2）解：∵f（1）=3，f（x+y）=f（x）+f（y），
∴f（3）=f（2+1）=f（2）+f（1）=[f（1）+f（1）]+f（1）=3f（1）=9，
又y=f（x）是奇函數；
∴f（-3）=-f（3）=-9．

點評：本題考查抽象函數及其應用，著重考查賦值法，考查函數奇偶性的判斷與應用，屬于中檔題．

練習冊系列答案

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科目：高中數學 來源： 題型：

下列命題：
①G²=ab是三個數a、G、b成等比數列的充要條件；
②若函數y=f（x）對任意實數x都滿足f（x+2）=-f（x），則f（x）是周期函數；
③對于命題p：?x∈R，2x+3＞0，則?p：?x∈R，2x+3＜0；
④直線

(x+y)+1+a=0與圓C：x²+y²=a（a＞0）相離．
其中不正確命題的序號為

（把你認為不正確的命題序號都填上）．

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科目：高中數學 來源： 題型：

若函數y=f（x）對定義域D的每一個x₁，都存在唯一的x₂∈D，使f（x₁）f（x₂）=1成立，則稱f（x）為“自倒函數”，下列命題正確的是

（1），（3）

．（把你認為正確命題的序號都填上）
（1）f（x）=sinx+

（x∈[-

，

]）是自倒函數；
（2）自倒函數f（x）的值域可以是R
（3）自倒函數f（x）可以是奇函數
（4）若y=f（x），y=g（x）都是自倒函數，且定義域相同，則y=f（x）g（x）是自倒函數．

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科目：高中數學 來源： 題型：

若函數y=f（x）對定義域的每一個值x₁，都存在唯一的x₂，使y=f（x₁）f（x₂）=1成立，則稱此函數為“濱湖函數”．下列命題正確的是

②③

．（把你認為正確的序號都填上）
①y=

是“濱湖函數”；
②y=

+sinx（x∈[-

，

]）I是“濱湖函數”；
③y=2^x是“濱湖函數”；
④y=lnx是“濱湖函數”；
⑤y=f（x），y=g（x）都是“濱湖函數”，且定義域相同，則y=f（x）g（x）是“濱湖函數”

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科目：高中數學 來源： 題型：

若函數y=f（x）對任意的x，y∈R，恒有f（x+y）=f（x）+f（y），當x＞0時，恒有f（x）＜0
（1）判斷f（x）的奇偶性并證明；
（2）判斷函數f（x）的單調性并證明；
（3）若f（2）=1，解不等式f（-x²）+2f（x）+4＜0．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數y=f（x）是定義在R上的函數．
（1）若函數y=f（x）滿足：f（xy）=f（x）+f（y），f(

)=1，
①求f（1），f(

)的值，
②若函數y=f（x）是定義域為R⁺的減函數，且f（x）+f（2-x）＜2，求x的取值范圍．
（2）若函數y=f（x）對一切x∈R滿足f（x+2）=-f（x），求證：f（x）是周期函數；
（3）若函數y=f（x）對一切x、y∈R滿足f（x+y）=f（x）+f（y），求證：f（x）是奇函數．

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