Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率e=

3

2

，原點到經過點A（a，0），B（0，-b）的直線的距離是

4 5

5

（1）求橢圓C的方程；  
（2）若P（x，y）是橢圓C上的一動點，求x²+y²的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用橢圓的離心率e=

3

2

，原點到經過點A（a，0），B（0，-b）的直線的距離是

4 5

5

，建立方程組，求出幾何量，即可得出橢圓的方程；
（2）由（1）知，P（x，y）滿足橢圓方程，整理得到x2+y2=4+

3x2

4

，進而得到x²+y²的取值范圍．

解答：解：解：（1）∵橢圓的離心率e=

3

2

，
∴a=2b．
∵原點到經過點A（a，0），B（0，-b）的直線

x

a

-

y

b

=1的距離是

4 5

5

，
∴

ab

a2+b2

=

4

5

∴a=4，b=2，
∴所求橢圓的方程為

x2

16

+

y2

4

=1；
（2）由于P（x，y）是橢圓C

x2

16

+

y2

4

=1上的一動點，
則x2+y2=4+

3x2

4

，
∵-4≤x≤4，∴4≤x²+y²≤16，
因此x²+y²的取值范圍為[4，16]．

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理的運用，考查分類討論的數學思想，屬于中檔題．