Question

如圖，PD垂直正方形ABCD所在平面，AB=2，E是PB的中點，cos＜，＞=．
（1）建立適當的空間坐標系，寫出點E的坐標；
（2）在平面PAD內求一點F，使EF⊥平面PCB．

Answer 1

解：（1）以DA、DC、DP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間坐標系，則A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0）．
設P（0，0，2m），則E（1，1，m）．
∴=（-1，1，m），=（0，0，2m），
∴cos＜，＞==，解得m=1．
∴點E坐標是（1，1，1）．
（2）∵F∈平面PAD，∴可設F（x，0，z）?=（x-1，-1，z-1）．
∵EF⊥平面PCB，∴⊥?（x-1，-1，z-1）•（2，0，0）=0?x=1．
∵⊥，∴（x-1，-1，z-1）•（0，2，-2）=0?z=0．
∴點F的坐標是（1，0，0），即點F是AD的中點．
分析：（1）以DA、DC、DP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間坐標系，求出和的坐標，代入兩個向量的夾角公式，解方程求得點E坐標．
（2）由F∈平面PAD，可設F（x，0，z），則•=0，且•=0，解方程組求得F的坐標．
點評：本題考查兩個向量的夾角公式，向量和平面垂直的性質，體現了數形結合的數學思想．