Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，∠ADC=45°，AD=AC=2，O為AC的中點，PO⊥平面ABCD，PO=2，M為PD的中點，
（1）證明：AD⊥平面PAC；
（2）求直線AM與平面ABCD所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）由∠ADC=45°，且AD=AC=2，易得AD⊥AC，PO⊥AD，根據線面垂直的判定定理可證；
（2）取DO中點N，由PO⊥平面ABCD，可得MN⊥平面ABCD，從而可得∠MAN是直線AM與平面ABCD所成的角．在Rt△ANM中求解即可．

解答：（1）證明：∵∠ADC=45°，且AD=AC=2，
∴∠DAC=90°，即AD⊥AC
又∵PO⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，
∴PO⊥AD，
又∵AC∩PO=O，
∴AD⊥平面PAC
（2）解：取DO中點N，連接MN，AN
∵M為PD的中點，∴MN∥PO，且MN=

1

2

PO=1，
∵PO⊥平面ABCD，∴MN⊥平面ABCD
∴∠MAN是直線AM與平面ABCD所成的角．
在Rt△DAO中，∵AD=2，AO=1，∠DAO=90°，∴DO=

5

，
∴AN=

1

2

DO=

5

2

，
在Rt△ANM中，sin∠MAN=

MN

MN2+AN2

=

2

3

，
即直線AM與平面ABCD所成角的正弦值為

2

3

．

點評：本題主要考查直線與平面平行、直線與平面垂直、直線與平面所成的角等基礎知識，考查空間想象能力、運算能力、推理論證能力．