Question

13．袋中裝有形狀、大小完全相同的五個乒乓球，分別標有數字1，2，3，4，5．現每次從中任意抽取一個，取出后不再放回．
（Ⅰ）若抽取三次，求前兩個乒乓球所標數字之和為偶數的條件下，第三個乒乓球為奇數的概率；
（Ⅱ）若不斷抽取，直至取出標有偶數的乒乓球為止，設抽取次數為ξ，求隨機變量ξ的分布列及數學期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設“前兩個乒乓球所標數字之和為偶數”為事件A，“第三個乒乓球為奇數”為事件B，由此利用條件概率計算公式能求出前兩個乒乓球所標數字之和為偶數的條件下，第三個乒乓球為奇數的概率．
（Ⅱ）ξ的可能取值為1，2，3，4．分別求出相應的概率，由此能求出隨機變量ξ的分布列及數學期望．

解答 解：（Ⅰ）設“前兩個乒乓球所標數字之和為偶數”為事件A，
“第三個乒乓球為奇數”為事件B，
則所求概率為$P（B\left|A\right.）=\frac{P（A•B）}{P（A）}=\frac{C_3^1A_2^2+A_2^2A_3^1}{C_4^1A_2^2A_3^1}=\frac{1}{2}$．
（Ⅱ）ξ的可能取值為1，2，3，4．
$P（ξ=1）=\frac{A_2^1}{A_5^1}=\frac{2}{5}，P（ξ=2）=\frac{A_3^1A_2^1}{A_5^2}=\frac{3}{10}，P（ξ=3）=\frac{A_3^2A_2^1}{A_5^3}=\frac{1}{5}，P（ξ=4）=\frac{A_3^3A_2^1}{A_5^4}=\frac{1}{10}$，
ξ的分布列為

ξ	1	2	3	4
P	$\frac{2}{5}$	$\frac{3}{10}$	$\frac{1}{5}$	$\frac{1}{10}$

所以$Eξ=1×\frac{2}{5}+2×\frac{3}{10}+3×\frac{1}{5}+4×\frac{1}{10}=2$．

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數學期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意排列組合知識的合理運用．