Question

己知向量a=(2sin

x

2

，1-

2

cos

x

2

)，b=(cos

x

2

，1+

2

cos

x

2

)，函數(shù)f(x)=log

1

2

（a•b）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的定義域和值域；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

（Ⅰ）∵

a

•

b

=2sin

x

2

cos

x

2

+(1-

2

cos

x

2

)(1+

2

cos

x

2

)=sinx+1-2cos2

x

2

=sinx-cosx=

2

sin(x-

π

4

)．
由sin(x-

π

4

)＞0，
得2kπ＜x-

π

4

＜2kπ+π，
即2kπ+

π

4

＜x＜2kπ+

5π

4

，k∈Z．
∴f（x）的定義域是(2kπ+

π

4

，2kπ+

5π

4

)，k∈Z．
∵0＜

2

sin(x-

π

4

)≤

2

，則f(x)≥log

1

2

2

=-

1

2

，
∴f（x）的值域是[-

1

2

，+∞)．
（Ⅱ）由題設(shè)f(x)=log

1

2

2

sin(x-

π

4

)．
若f（x）為增函數(shù)，則y=

2

sin(x-

π

4

)為減函數(shù)，
∴2kπ+

π

2

≤x-

π

4

＜2kπ+π，
即2kπ+

3π

4

≤x＜2kπ+

5π

4

，
∴f（x）的遞增區(qū)間是[2kπ+

3π

4

，2kπ+

5π

4

)，k∈Z．
若f（x）為減函數(shù)，則y=

2

sin(x-

π

4

)為增函數(shù)，
∴2kπ＜x-

π

4

≤2kπ+

π

2

，即2kπ+

π

4

＜x≤2kπ+

3π

4

，
∴f（x）的遞減區(qū)間是(2kπ+

π

4

，2kπ+

3π

4

]，k∈Z．