Question

21．拋物線C的方程為，過拋物線C上一點P(x₀,y₀)(x ₀≠0)作斜率為k₁,k₂的兩條直線分別交拋物線C于A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂)兩點(P,A,B三點互不相同)，且滿足.

（Ⅰ）求拋物線C的焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；

（Ⅱ）設(shè)直線AB上一點M，滿足，證明線段PM的中點在y軸上；

（Ⅲ）當(dāng)=1時，若點P的坐標(biāo)為（1，－1），求∠PAB為鈍角時點A的縱坐標(biāo)的取值范圍.

Answer 1

21.（Ⅰ）解：由拋物線C的方程y=ax²(a<0)得，焦點坐標(biāo)為（0,），準(zhǔn)線方程為

      y= －

（Ⅱ）證明：設(shè)直線PA的方程為y－y₀=k₁(x－x₀).直線PB的方程為y-y₀=k₂(x-x₀)

點P(x₀,y₀)和點A(x₁,y₁)的坐標(biāo)是方程組

的解，將②式代入①式得ax²－k₁x+k₁x₀－y₀=0，于是x₁+x₀=,故

             x₁=－x₀                               ③

又點P(x₀,y₀)和點B(x₂,y₂)的坐標(biāo)是方程組

的解，將⑤式代入④式得ax²－k₂x+k₂x₀－y₀=0，于是x₂+x₀=，故

          x₂=-x₀

由已知得，k₂=－λk₁，則x₂=－k₁－x₀                      ⑥

設(shè)點M的坐標(biāo)為（x_M, y_M），由，則

            x_M=

將③式和⑥式代入上式得

            x_M==-x₀，

即x_M+x₀=0，所以，線段PM的中點在y軸上.

（Ⅲ）解：因為點P(1, －1)在拋物線y=ax²上，所以a=－1，拋物線方程為y=－x².

由③式知x₁=－k₁－1，代入y= x²得y₁= －(k₁+1)²

將λ=1代入⑥式得x₂=k₁－1，代入y=－x²得y₂=－(k₁－1)².

因此，直線PA、PB分別與拋物線C的交點A、B的坐標(biāo)為

   A(－k₁－1, －k₁²－2k₁－1), B(k₁－1, －k₁²+2k₁－1)

于是

=(k₁+2, k₁²+2 k₁),

=(2k₁,4k₁)

·=2k₁(k₁+2)+4k₁(k₁²+2k₁)

          =2k₁ (k₁+2)(2k₁+1)

因∠PAB為鈍角且P、A、B三點互不相同，故必有·<0，即 

                k₁ (k₁+2)(2k₁+1)<0,

求得k₁的取值范圍為

  k₁＜－2或－＜k₁＜0

又點A的縱坐標(biāo)y₁滿足y₁= －(k₁+1)²，故

     當(dāng)k₁<－2時，y₁<－1

         當(dāng)－＜k₁＜0時，－1＜y₁＜－

 

所以，∠PAB為鈍角時點A的縱坐標(biāo)y₁的取值范圍為

    (－∞，－1)∪(－1,－).