Question

（05年天津卷）（14分）

拋物線C的方程為，過拋物線C上一點  ()作斜率為的兩條直線分別交拋物線C于，兩點（P、A、B三點互不相同），且滿足（≠0且）。

（Ⅰ）求拋物線C的焦點坐標和準線方程

（Ⅱ）設直線AB上一點M，滿足，證明線段PM的中點在y軸上

（Ⅲ）當時，若點P的坐標為（1，1），求∠PAB為鈍角時點A的縱坐標的取值范圍。

 

Answer 1

解析：（I）由拋物線的方程得，焦點坐標為（），準線方程為

（II）證明：設直線PA的方程為，直線PB的方程為

點和點的坐標是方程組的解

將代入得：

由韋達定理： ①

同理：，又因為，所以  ②

設點的坐標為，由，得  ③

將 ② 代入 ③ 得：

即：。所以，線段的中點在軸上

（III）因為點P（1，1）在拋物線上，所以，拋物線的方程為。

由 ① 得：，代入得

將代入 ② ，得，代入得

因此，直線PA、PB分別與拋物線C的交點A、B的坐標為

于是：，

因為為鈍角且P、A、B三點互不相同，故必有，即

解得的范圍為：或

又點A的縱坐標滿足，故

當時，

當時，

所以，為鈍角時，點A的縱坐標的取值范圍是