Question

在平行六面體ABCD-A′B′C′D′中，AB=4，AD=3，AA′=5，∠BAD=90°，∠BAA′=∠DAA′=60°，則對角線AC′的長度為（　　）

• A．6
• B．

  65

• C．8
• D．

  85

Answer 1

分析：由題意畫出幾何體的圖形，連接AC，根據cos∠A'AB=cos∠A'AC•cos∠CAB求出∠A'AC，根據互補性可知∠C'CA的大小，最后根據余弦定理得求出AC′即可．

解答：解：由題意幾何體的圖形如圖，連接AC，
∵AB=4，AD=3，∠BAD=90°
∴AC=5，因為∠BAD=90°，∠BAA′=∠DAA′=60°，
根據cos∠A′AB=cos∠A′AC•cos∠CAB
即

1

2

=cos∠A′AC•

2

2

∴∠A′AC=45°則∠C′CA=135°
而AC=5，AA′=5，
根據余弦定理得AC′=

AC2+CC′2-2AC•CC′cos135°

=

85

故選D．

點評：本題主要考查了體對角線的求解，三面角公式、余弦定理的應用，同時考查了空間想象能力，計算推理的能力，屬于中檔題．