Question

6．在空間直角坐標系O-xyz中．正四面體P-ABC的頂點A，B分別在x軸，y軸上移動．若該正四面體的棱長是2，則|OP|的取值范圍是（　　）

• A． [$\sqrt{3}$-1，$\sqrt{3}$+1]
• B． [1，3]
• C． [$\sqrt{3}$-1，2]
• D． [1，$\sqrt{3}$+1]

Answer 1

分析 根據題意畫出圖形，結合圖形，固定正四面體P-ABC的位置，則原點O在以AB為直徑的球面上運動，
原點O到點P的最近距離等于PM減去球的半徑，最大距離是PM加上球的半徑．

解答 解：
如圖所示，若固定正四面體P-ABC的位置，則原點O在以AB為直徑的球面上運動，
設AB的中點為M，則PM=$\sqrt{{2}^{2}{-1}^{2}}$=$\sqrt{3}$；
所以原點O到點P的最近距離等于PM減去球M的半徑，
最大距離是PM加上球M的半徑；
所以$\sqrt{3}$-1≤|OP|≤$\sqrt{3}$+1，
即|OP|的取值范圍是[$\sqrt{3}$-1，$\sqrt{3}$+1]．
故選：A．

點評 本題主要考查了點到直線以及點到平面的距離與應用問題，也考查了數形結合思想的應用問題，是綜合題．