Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，an＞0，anam=3m+n，m，n∈N⁺，滿足120≤S_n＜1000成立的n的集合為

{4，5}

．

Answer 1

分析：令n=m=1，由anam=3m+n可求得a₁，令m=1，由anam=3m+n可求得a_n，進(jìn)而可判斷數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，求得S_n，然后解不等式120≤S_n＜1000可求得n值，注意n∈N⁺．

解答：解：令n=m=1，
由anam=3m+n，得a12=32，解得a₁=±3，
又a_n＞0，∴a₁=3，
令m=1，由anam=3m+n，得ana1=3n+1，即3an=3n+1，解得a_n=3ⁿ，
∴數(shù)列{a_n}為以3為首項，3為公比的等比數(shù)列，
∴Sn=

3(1-3n)

1-3

=

3(3n-1)

2

，
則120≤S_n＜1000，即120≤

3(3n-1)

2

＜1000，化簡得，81≤3n＜

2003

3

，
又n∈N⁺，∴n=4或5，
∴滿足120≤S_n＜1000成立的n的集合為：{4，5}，
故答案為：{4，5}．

點評：本題考查數(shù)列遞推式求數(shù)列通項、數(shù)列的求和及數(shù)列與不等式的綜合，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬中檔題．