Question

已知函數f(x)=

1

3

ax3-

3

2

x2+1，x∈R，其中a＞0．
（1）若a=1，求曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程；
（2）若函數g（x）=f'（x）+alnx在x∈[2，+∞）上單調遞增，求實數a的取值范圍；
（3）若在區間x∈[-

1

2

，

1

2

]上，f（x）＞0恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求導函數，利用導數的幾何意義，確定切線的斜率，結合切點的坐標，可得切線方程；
（2）求導函數，利用函數g（x）=f'（x）+alnx在x∈[2，+∞）上單調遞增，可得g′（x）≥0在x∈[2，+∞）上恒成立，分離參數，利用求最值，即可確定實數a的取值范圍；
（3）令f'（x）=0可得x=0或x=

3

a

＞0，根據x∈[-

1

2

，

1

2

]，分類討論，確定函數的單調性，求出函數的最小值，建立不等式組，即可求得實數a的取值范圍．

解答：解：求導函數，可得f′（x）=ax²-3x（a＞0，x∈R）
（1）當a=1時，f′（x）=x²-3x，f(x)=

1

3

x3-

3

2

x2+1
∴f′(2)=-2，f(2)=-

7

3

∴切線方程為y+

7

3

=-2(x-1)，即y=-2x+

5

3

（2）g（x）=f'（x）+alnx=ax²-3x+alnx（a＞0，x∈R）
∵函數g（x）=f'（x）+alnx在x∈[2，+∞）上單調遞增，
∴g′（x）≥0在x∈[2，+∞）上恒成立
即a≥

3x

2x2+1

在x∈[2，+∞）上恒成立
設h(x)=

3x

2x2+1

，則h′(x)=

3-6x2

(2x2+1)2

∵x≥2，∴h′（x）＜0
∴函數h（x）在x∈[2，+∞）上單調減
∴h(x)≤h(2)=

2

3

∴實數a的取值范圍為a≥

2

3

；
（3）令f'（x）=0可得x=0或x=

3

a

＞0
∵x∈[-

1

2

，

1

2

]，f（-

1

2

）=-

a

24

+

5

8

，f（

1

2

）=

a

24

+

5

8

，f（

3

a

）=1-

9

2a2

，f（0）=1
①

3

a

＜

1

2

，即a＞6時，函數在（-

1

2

，0），(

3

a

，

1

2

)上單調增，(0，

3

a

)上單調減
∴要使在區間x∈[-

1

2

，

1

2

]上，f（x）＞0恒成立，只需

- a 24 + 5 8 ＞0 1- 9 2a2 ＞0 a＞6

，∴6＜a＜15；
②當

3

a

≥

1

2

時，即0＜a≤6，函數在（-

1

2

，0）上單調增，(0，

1

2

)上單調減
∴要使在區間x∈[-

1

2

，

1

2

]上，f（x）＞0恒成立，只需

- a 24 + 5 8 ＞0 a 24 + 5 8 ＞0 0＜a≤6

，∴0＜a≤6；
綜上①②可知，0＜a＜15．

點評：本題考查導數知識的運用，考查導數的幾何意義，考查恒成立問題，考查函數的單調性，正確求導，恰當分類是關鍵．