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【題目】如圖所示,平面ABDE⊥平面ABC,△ABC是等腰直角三角形,ACBC=4,四邊形ABDE是直角梯形,BDAEBDBABDAE=2,OM分別為CEAB的中點(diǎn).

(1)求證:OD∥平面ABC

(2)求直線CD和平面ODM所成角的正弦值;

【答案】(1)見解析(2)

【解析】試題分析:(1)通過證明線線平行得到線面平行;(2)C為原點(diǎn),分別以CACB所在直線為xy軸,以過點(diǎn)C且與平面ABC垂直的直線為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,求出平面ODM的一個法向量,利用直線與平面所成的角的公式,求出直線CD和平面ODM所成角的正弦值。

試題解析:(1)證明 如圖,取AC中點(diǎn)F,連接OFFB.

FAC中點(diǎn),OCE中點(diǎn),

OFEAOFEA.

BDAEBDAE

OFDBOFDB

∴四邊形BDOF是平行四邊形,∴ODFB.

又∵FB平面ABCOD平面ABC

OD∥平面ABC.

(2)解 ∵平面ABDE⊥平面ABC,平面ABDE∩平面ABCABDB平面ABDE,且BDBA

DB⊥平面ABC.

BDAE,∴EA⊥平面ABC.

又△ABC是等腰直角三角形,且ACBC

∴∠ACB=90°,

∴以C為原點(diǎn),分別以CACB所在直線為xy軸,以過點(diǎn)C且與平面ABC垂直的直線為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示.

ACBC=4,∴C(0,0,0),A(4,0,0),B(0,4,0),D(0,4,2),E(4,0,4),O(2,0,2),M(2,2,0),

=(0,4,2),=(-2,4,0),=(-2,2,2).

設(shè)平面ODM的法向量為n=(xyz),

則由nn,可得

x=2,得y=1,z=1,∴n=(2,1,1).

設(shè)直線CD和平面ODM所成角為θ

則sin θ.

直線CD和平面ODM所成角的正弦值為.

練習(xí)冊系列答案
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