Question

【題目】已知函數．

（1）若在區間上單調遞增，求實數的取值范圍；

（2）若存在唯一整數，使得成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：（1）本問考查利用導數研究函數單調性，由函數在區間上單調遞增，則在上恒成立，即在上恒成立，采用參變分離的方法，將問題轉化為在上恒成立，設函數，于是只需滿足即可，問題轉化為求函數的最小值；（2）存在唯一整數，使得，即，于是問題轉化為存在唯一一個整數 使得函數圖像在直線下方，于是可以畫出兩個函數圖像，結合圖像進行分析，確定函數在時圖像之間的關系，通過比較斜率大小來確定的取值范圍.

試題解析：（1）函數的定義域為， ，

要使在區間上單調遞增，只需，即

在上恒成立即可，

易知在上單調遞增，所以只需即可，

易知當時， 取最小值， ，

∴實數的取值范圍是.

（2）不等式即，

令，

則， 在上單調遞增，

而，

∴存在實數，使得，

當時， ， 在上單調遞減；

當時， ， 在上單調遞增，∴.

，畫出函數和的大致圖象如下，

的圖象是過定點的直線，

由圖可知若存在唯一整數，使得成立，則需，

而，∴．

∵，∴．

于是實數的取值范圍是．