【題目】已知函數
．
（1）當
時，求曲線
在
處的切線方程；
（2）若函數在區間
上有極值，求實數
的取值范圍．
【答案】（1）
；（2）
【解析】
（1）代入
，對
求導，代入
得到斜率，再由點斜式寫出直線方程；（2）對求導，令
，然后再求導得到
，可得
時，
，所以函數
在
上單調遞增，再根據
，按
和
進行分類討論，得到函數在
上存在唯一零點
，從而得到若函數
在區間上有極值，則．
（1）當時，
，
，
則
，
，
故曲線在處的切線方程為：
，即.
（2）
，
，
令，則
，
當時，，所以函數在上單調遞增，
又，故
①當時，
，
，在上單調遞增，無極值；
②當時，
，
，
令
，則
，
當
時，
，函數
在上單調遞增，
，
所以在上，
恒成立，
所以
，
所以函數在上存在唯一零點，
所以在
上單調遞減，在
上單調遞增，此時函數存在極小值．
綜上，若函數在區間上有極值，則．
故實數
的取值范圍為.
習題精選系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已定義
，已知函數
的定義域都是
，則下列四個命題中為真命題的是_________．（寫出所有真命題的序號）
① 若都是奇函數，則函數
為奇函數．
② 若都是偶函數，則函數為偶函數．
③ 若都是增函數，則函數為增函數．
④ 若都是減函數，則函數為減函數．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某公園草坪上有一扇形小徑（如圖）,扇形半徑為
,中心角為
,甲由扇形中心
出發沿
以每秒2米的速度向
快走,同時乙從出發,沿扇形弧以每秒
米的速度向
慢跑,記
秒時甲、乙兩人所在位置分別為
,
，通過計算
，判斷下列說法是否正確：
（1）當
時，函數
取最小值；
（2）函數
在區間
上是增函數；
（3）若
最小，則
；
（4）
在
上至少有兩個零點；
其中正確的判斷序號是______（把你認為正確的判斷序號都填上）
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，橢圓
的長軸長為
，點
、
、
為橢圓上的三個點，為橢圓的右端點，
過中心
，且
，
．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）設
、
是橢圓上位于直線
同側的兩個動點（異于、），且滿足
，試討論直線
與直線
斜率之間的關系，并求證直線
的斜率為定值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知中心在原點O，左右焦點分別為
，
的橢圓的離心率為
，焦距為
，A，B是橢圓上兩點.
（1）若直線
與以原點為圓心的圓相切，且
，求此圓的方程；
（2）動點P滿足：
，直線
與
的斜率的乘積為
，求動點P的軌跡方程.
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