Question

【題目】設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，過的直線與交于兩點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為.

（1）當(dāng)與軸垂直時(shí)，求直線的方程；

（2）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：.

Answer 1

【答案】(1) AM的方程為或.

(2)證明見解析.

【解析】分析：(1)首先根據(jù)與軸垂直，且過點(diǎn)，求得直線l的方程為x=1，代入橢圓方程求得點(diǎn)A的坐標(biāo)為或，利用兩點(diǎn)式求得直線的方程；

(2)分直線l與x軸重合、l與x軸垂直、l與x軸不重合也不垂直三種情況證明，特殊情況比較簡單，也比較直觀，對于一般情況將角相等通過直線的斜率的關(guān)系來體現(xiàn)，從而證得結(jié)果.

詳解：（1）由已知得，l的方程為x=1.

由已知可得，點(diǎn)A的坐標(biāo)為或.

所以AM的方程為或.

（2）當(dāng)l與x軸重合時(shí)，.

當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，OM為AB的垂直平分線，所以.

當(dāng)l與x軸不重合也不垂直時(shí)，設(shè)l的方程為，，

則，直線MA，MB的斜率之和為.

由得

.

將代入得

.

所以，.

則.

從而，故MA，MB的傾斜角互補(bǔ)，所以.

綜上，.