Question

已知函數f（x）=|2^x-1|．
（1）敘述y=2^x的圖象經過怎樣的變換得到函數f（x）=|2^x-1|的圖象？
（2）畫出函數f（x）=|2^x-1|的圖象；
（3）利用圖象回答下列問題：
①指出單調區間，以及在每一個單調區間上，它是增函數還是減函數（不要求證明）；
②討論方程|2^x-1|=k的根的情況（只需寫出結果，不要解答過程）．

Answer 1

分析：（1）根據函數圖象的平移變換法則，可先將y=2^x的圖象向下平移一個單位得到y=2^x-1的圖象，再根據函數圖象的對折變換法則得到答案．
（2）結合（1）中圖象變換方式，結合指數函數y=2^x的圖象和性質，可得f（x）=|2^x-1|的圖象；
（3）根據（2）中所得函數的圖象，
①結合從左到右圖象上升函數為增函數，圖象下降函數為減函數，可判斷函數的單調區間；
②分析函數圖象與直線y=k交點個數，可判斷不同情況下方程|2^x-1|=k的根的情況．

解答：解：（1）將y=2^x的圖象向下平移一個單位得到y=2^x-1的圖象，
再將y=2^x-1在x軸下方的圖象沿著x軸翻折到x軸上方得到f（x）=|2^x-1|的圖象…（4分）
（2）函數f（x）=|2^x-1|的圖象，如下圖所示：
…（7分）
（3）單增區間（0，+∞）；單減區間（-∞，0）；
當k＜0時，方程無解；
當k＞1或k=0時，方程一解；
當0＜k＜1時，方程兩解．…（12分）

點評：本題考查的知識點是函數圖象的作法，函數圖象的平移變換及對折變換，函數單調性，函數的零點，熟練掌握指數函數的圖象和性質及函數圖象的變換法則，是解答的關鍵．