Question

已知函數(shù)f（x）=（x²+2x）•e^-x，關(guān)于f（x）給出下列四個(gè)命題：
①x∈（-2，0）時(shí)，f（x）＜0；
②x∈（-1，1）時(shí)，f（x）單調(diào)遞增；
③函數(shù)f（x）的圖象不經(jīng)過(guò)第四象限；
④f（x）=

1

2

有且只有三個(gè)實(shí)數(shù)解．
其中全部真命題的序號(hào)是

①、②、③、④

．

Answer 1

分析：①x∈（-2，0）時(shí)，考察x²+2x的函數(shù)值，即可判斷函數(shù)f（x）的值的正負(fù)；②利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，先求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)f′（x）＞0求得的區(qū)間是單調(diào)增區(qū)間，f′（x）＜0求得的區(qū)間是單調(diào)減區(qū)間．利用②的結(jié)論結(jié)合函數(shù)的最值，研究函數(shù)的圖象特征，從而得出③函數(shù)f（x）的圖象不經(jīng)過(guò)第四象限；④f（x）=

1

2

有且只有三個(gè)實(shí)數(shù)解．

解答：解：①x∈（-2，0）時(shí)，x²+2x=x（x+2）＜0，而e^-x＞0，
∴f（x）＜0，故①正確；
②∵f′（x）=-e^-x（x²+2x）+e^-x（2x+2）=-e^-x（x²-2），
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-

2

，

2

），單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，-

2

），（

2

，+∞）．
∴x∈（-1，1）時(shí)，f（x）單調(diào)遞增．②正確，
又當(dāng)x=

2

時(shí)，函數(shù)取得最大值（2+2

2

）e -

2

＞0.5，
當(dāng)x=-

2

時(shí)，函數(shù)取得最大值（2-2

2

）e 

2

＜-3，
當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)取值0，當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞0．
根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及特殊函數(shù)值，畫出函數(shù)f（x）的圖象，如圖所示，則③函數(shù)f（x）的圖象不經(jīng)過(guò)第四象限；正確；
④f（x）=

1

2

有且只有三個(gè)實(shí)數(shù)解；正確．
故答案為：①、②、③、④．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想．屬于基礎(chǔ)題．