Question

【題目】已知數列（）的通項公式為（）.

（1）分別求的二項展開式中的二項式系數之和與系數之和；

（2）求的二項展開式中的系數最大的項；

（3）記（），求集合的元素個數（寫出具體的表達式）.

Answer 1

【答案】（1），0；（2），；（3）.

【解析】

（1）根據二項展開式直接得二項式系數之和為，利用賦值法求二項展開式中的系數之和；

（2）根據二項展開式通項公式得系數，再列方程組解得系數最大的項；

（3）先根據二項式定理將展開成整數與小數，再根據奇偶性分類討論元素個數，最后根據符號數列合并通項.

（1）二項展開式中的二項式系數之和為，

令得二項展開式中的系數之和為；

（2）

設二項展開式中的系數最大的項數為

則

因此二項展開式中的系數最大的項為，

（3）

所以當為偶數時，集合的元素個數為

當為奇數時，集合的元素個數為

綜上，元素個數為