【題目】如圖，三棱柱
中，
，
，平面
平面
，
與
相交于點
.
（1）求證：
平面；
（2）求二面角
的余弦值.
【答案】（1）詳見解析；（2）
.
【解析】
試題（1）可利用推論“若兩平面垂直，一個平面上的直線垂直于兩平面交線，則直線垂直于另一個平面”證明線面垂直。
（2）以
為原點，以
所在直線分別為
軸、
軸、
軸建立空間直角坐標系，利用空間向量即可求得二面角余弦值。
試題解析：
（1）證明：設
的中點為
，連
.
∵
，
∴四邊形
為菱形，且
為正三角形，∴
.
∵
，∴
.
而
，
∴
平面
，∴
.
∵四邊形為菱形，則有
，
又平面
平面，平面
平面
，
∴
平面
，
∴
，
又∵
，∴
平面.
（2）
如圖，∵
，∴
，
以為原點，以所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，
∵
，
∴
.
從而，有
，
.
∴
.
設面
的法向量為
，
則
，
又面的法向量為
，
設二面角
的大小為
，由圖知為銳角，
則
.
三點一測快樂周計劃系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某地棚戶區改造建筑平面示意圖如圖所示，經規劃調研確定，棚改規劃建筑用地區域近似為圓面，該圓面的內接四邊形
是原棚戶區建筑用地，測量可知邊界
萬米，
萬米，
萬米.
（1）請計算原棚戶區建筑用地的面積及
的長；
（2）因地理條件的限制，邊界
不能更改，而邊界
可以調整，為了提高棚戶區建筑用地的利用率，請在圓弧
上設計一點
，使得棚戶區改造后的新建筑用地
的面積最大，并求出最大值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知圓C：
．
(1)求圓的圓心C的坐標和半徑長；
(2)直線l經過坐標原點且不與y軸重合，l與圓C相交于
兩點，求證：
為定值；
(3)斜率為1的直線m與圓C相交于D、E兩點，求直線m的方程，使
的面積最大．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某企業擬用10萬元投資甲、乙兩種商品.已知各投入
萬元，甲、乙兩種商品分別可獲得
萬元的利潤，利潤曲線
，
，如圖所示.
（1）求函數的解析式；
（2）應怎樣分配投資資金，才能使投資獲得的利潤最大？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某蛋糕店每天做若干個生日蛋糕，每個制作成本為50元，當天以每個100元售出，若當天白天售不出，則當晚以30元/個價格作普通蛋糕低價售出，可以全部售完．
（1）若蛋糕店每天做20個生日蛋糕，求當天的利潤
（單位：元）關于當天生日蛋糕的需求量
（單位：個， 
）的函數關系；
（2）蛋糕店記錄了100天生日蛋糕的日需求量（單位：個）整理得下表：
（ⅰ）假設蛋糕店在這100天內每天制作20個生日蛋糕，求這100天的日利潤（單位：元）的平均數；
（ⅱ）若蛋糕店一天制作20個生日蛋糕，以100天記錄的各需求量的頻率作為概率，求當天利潤不少于900元的概率．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在如圖所示的幾何體中，四邊形
是菱形，
是矩形，平面
平面.
，
，
且點
為
的中點．
（1） 求證：
平面
；
（2） 求
與平面
所成角的正弦值；
（3） 在線段
上是否存在點
，使二面角
的大小為
？若存在，求出
的長；若不存在，請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知數列
（
）的通項公式為
（）.
（1）分別求
的二項展開式中的二項式系數之和與系數之和；
（2）求
的二項展開式中的系數最大的項；
（3）記
（
），求集合
的元素個數（寫出具體的表達式）.
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