Question

已知函數f（x）的定義域是x≠0的一切實數，對定義域內的任意x₁，x₂都有f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂），且當x＞1時f（x）＞0，f（2）=1．
（1）求證：f（x）是偶函數；
（2）f（x）在（0，+∞）上是增函數；
（3）解不等式f（2x²-1）＜2．

Answer 1

分析：（1）根據題意和式子的特點，先令x₁=x₂=-1求出f（-1）=0，再令x₁=-1，x₂=x求出f（-x）=f（x），則證出此函數為偶函數；
（2）先任取x₂＞x₁＞0，再代入所給的式子進行作差變形，利用x₂=x1•

x2

x1

和

x2

x1

＞1且f(

x2

x1

)＞0，判斷符號并得出結論；
（3）根據題意和（1）的結論，把不等式轉化為f（|2x²-1|）＜f（4），再由（2）的結論知|2x²-1|＜4，故解此不等式即可．

解答：解：（1）由題意知，對定義域內的任意x₁，x₂都有f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂），
令x₁=x₂=-1，代入上式解得f（-1）=0，
令x₁=-1，x₂=x代入上式，∴f（-x）=f（-1•x）=f（-1）+f（x）=f（x），
∴f（x）是偶函數．
（2）設x₂＞x₁＞0，則f(x2)-f(x1)=f(x1•

x2

x1

)-f(x1)=f(x1)+f(

x2

x1

)-f(x1)=f(

x2

x1

)
∵x₂＞x₁＞0，∴

x2

x1

＞1，∴f(

x2

x1

)＞0，
即f（x₂）-f（x₁）＞0，∴f（x₂）＞f（x₁）
∴f（x）在（0，+∞）上是增函數．
（3）∵f（2）=1，∴f（4）=f（2）+f（2）=2，
∵f（x）是偶函數，∴不等式f（2x²-1）＜2可化為f（|2x²-1|）＜f（4），
又∵函數在（0，+∞）上是增函數，∴|2x²-1|＜4，且2x²-1≠0，
即-4＜2x²-1＜4，且2x²≠1解得：-

10

2

＜x＜

10

2

，且x≠±

2

2

，
即不等式的解集為{x|-

10

2

＜x＜

10

2

，且x≠±

2

2

}．

點評：本題的考點是抽象函數的性質及其應用，根據證明函數奇偶性和單調性的方法，反復給x₁和x₂值利用給出恒等式，注意條件的利用；求解不等式時利用函數的奇偶性及條件轉化為兩個函數值的關系，進而由函數的單調性轉化為自變量的大小，易錯點忽略定義域．