Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PD垂直于底面ABCD，AD=PD=2，
E、F分別為CD、PB的中點．
（1）求證：EF⊥平面PAB；
（2）設AB=

2

AD，求直線AC與平面AEF所成角θ的正弦值．

Answer 1

分析：（1）求出直線EF所在的向量，再求出平面內兩條相交直線所在的向量，然后利用向量的數量積為0，根據線面垂直的判定定理得到線面垂直．
（2）求出平面的法向量以及直線所在的向量，再利用向量的有關運算求出兩個向量的夾角，進而轉化為線面角，即可解決問題．

解答：解：以D為從標原點，DC、DA、DP所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系D-xyz．設AB=a，
則A（0，2，0），B（a，2，0），C（a，0，0），D（0，0，0，），p（0，0，2），e(

a

2

，0，0)，F(

a

2

，1，1)…（2分）

（1）由題意可得：

EF

•

PA

=0×0+1×2+1×（-2）=0，

EF

•

PB

=0×a+1×2+1×（-2）=0
∴EF⊥PA，EF⊥PB．
∴EF⊥平面PAB．…（6分）
（2）AB=2

2

．由上，

AE

=(

2

，-2，0)，

EF

=（0，1，1）．
設平面AEF的法向量n=（x，y，z），
則

n• AE =0 n• EF =0

即

2 x-2y+0=0 0+y+z=0

令y=1，則x=

2

，z=-1，所以n=(

2

，1，-1)…（9分）
又

AC

=(2

2

，-2，0)，所以cos＜

AC

，n＞

4-2+0

12 × 4

=

3

6

．…（11分）
所以sinθ=1cos＜

AC

，n＞|=

3

6

．…（12分）

點評：解決此類問題的關鍵是熟練掌握幾何體的結構特征，進而得到空間中點、線、面的位置關系，利于建立空間之間坐標系，利用向量的有關知識解決空間角與空間距離以及線面的位置關系等問題．