Question

己知y=f（x）是定義在R上的奇函數，當x＞0時，f（x）=x-2，那么不等式f(x)＜

1

2

的解集是（　　）

• A、{x|0＜x＜

  5

  2

  }
• B、{x|-

  3

  2

  ＜x＜0}
• C、{x|-

  3

  2

  ＜x＜0或0＜x＜

  5

  2

  }
• D、{x|x＜-

  3

  2

  或0≤x＜

  5

  2

  }

Answer 1

分析：由函數是奇函數和當x＞0時，f（x）=x-2，求出函數的解析式并用分段函數表示，在分三種情況求不等式f(x)＜

1

2

的解集，最后要把三種結果并在一起．

解答：解：∵y=f（x）是定義在R上的奇函數，∴f（0）=0，
設x＜0，則-x＞0，∵當x＞0時，f（x）=x-2，∴f（-x）=-x-2，
∵f（x）=-f（-x），∴f（x）=x+2，
∴f（x）=

x-2   x＞0 0       x=0 x+2   x＜0

，
①當x＞0時，由x-2＜

1

2

，解得0＜x＜

5

2

，
②當x=0時，0＜

1

2

，符合條件，
③當x＜0時，x+2＜

1

2

，解得x＜-

3

2

，
綜上，f(x)＜

1

2

的解集是{x|x＜-

3

2

或0≤x＜

5

2

}．
故選D．

點評：本題的考點是奇函數性質的應用，考查了由奇函數求出解析式，再根據解析式對x分類求解不等式的解集，注意f（0）=0這是易忽視的地方．