Question

在銳角△ABC中，2asinB=

3

b，
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）當BC=2時，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

分析：（I）由正弦定理化簡已知等式，可得sinA=

3

2

，結合△ABC是銳角三角形，可得A=

π

3

；
（II）由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA的式子，代入題中數據化簡得到b²+c²=bc+4，再根據基本不等式加以計算得到bc≤4，利用三角形的面積公式即可得到當b=c=2時，△ABC面積S有最大值為

3

．

解答：解：（Ⅰ）∵2asinB=

3

b，
∴由正弦定理，得2sinAsinB=

3

sinB，
又∵B為三角形的內角，得sinB＞0，
∴2sinA=

3

，可得sinA=

3

2

∵△ABC是銳角三角形，
∴A=

π

3

；
（Ⅱ）設角A、B、C所對的邊分別為a、b、c．
由題意a=2，根據余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，
可得4=b²+c²-2bccos

π

3

，
化簡得b²+c²=bc+4，
∵b²+c²≥2bc，
∴bc+4≥2bc，解得bc≤4，
∵△ABC面積S=

1

2

bcsinA=

3

4

bc，
∴當且僅當b=c=2時，△ABC面積S達到最大值，面積的最大值為

3

．

點評：本題給出三角形的邊角關系式，求角A的大小并依此求三角形面積的最大值．著重考查了正余弦定理、三角形的面積公式和利用基本不等式求最值等知識，屬于中檔題．