Question

如圖，△ABC的角平分線AD的延長線交它的外接圓于點E．
（1）證明：△ABE∽△ADC；
（2）若△ABC的面積S=AD•AE，求∠BAC的大小．

Answer 1

【答案】分析：（1）要判斷兩個三角形相似，可以根據三角形相似判定定理進行證明，但注意觀察已知條件中給出的是角的關系，故采用判定定理1更合適，故需要再找到一組對應角相等，由圓周角定理，易得滿足條件的角．
（2）根據（1）的結論，我們可得三角形對應對成比例，由此我們可以將△ABC的面積轉化為S=AB•AC，再結合三角形面積公式，不難得到∠BAC的大小．
解答：證明：（1）由已知△ABC的角平分線為AD，
可得∠BAE=∠CAD
因為∠AEB與∠ACB是同弧上的圓周角，
所以∠AEB=∠ACD
故△ABE∽△ADC．
解：（2）因為△ABE∽△ADC，
所以，
即AB•AC=AD•AE．
又S=AB•ACsin∠BAC，
且S=AD•AE，
故AB•ACsin∠BAC=AD•AE．
則sin∠BAC=1，
又∠BAC為三角形內角，
所以∠BAC=90°．
點評：相似三角形有三個判定定理：判定定理1：兩角對應相等的兩個三角形相似； 判定定理2：三邊對應成比例的兩個三角形相似；判定定理3：兩邊對應成比例，并且夾角相等的兩個三角形相似．在證明三角形相似時，要根據已知條件選擇適當的定理．