Question

如圖正三棱錐ABC-A₁B₁C₁中，底面邊長為a，側棱長為

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a，若經過對角線AB₁且與對角線BC₁平行的平面交上底面于DB₁．
（1）試確定D點的位置，并證明你的結論；
（2）求平面AB₁D與側面AB₁所成的角及平面AB₁D與底面所成的角；
（3）求A₁到平面AB₁D的距離．

Answer 1

分析：（1）先確定D為A₁C₁的中點，利用線面平行的性質證明BC₁可以平行于此面內過點D的一條直線，就說明點D的位置確定是正確的．
（2）過D作DF⊥A₁B₁于F，由正三棱錐的性質可得，∠DGF為平面AB₁D與側面AB₁所成的角的平面角，解直角三角形求出此角的正切值，便可求出此角的大小．先證明∠A₁DA是平面AB₁D與上底面所成的角的平面角，把它放在直角三角形中，求出此角的正切值，
可得此角的大小．
（3）過A₁作A₁M⊥AD，證明A₁M是A₁到平面AB₁D的距離，面積法求出此距離．

解答：解：（1）D為A₁C₁的中點．連接A₁B與AB₁交于E，
則E為A₁B的中點，DE為平面AB₁D與平面A₁BC₁的交線，∵BC₁∥平面AB₁D
∴BC₁∥DE，∴D為A₁C₁的中點；
（2）過D作DF⊥A₁B₁于F，由正三棱錐的性質，A
A₁⊥DF，∴DF⊥平面AB₁，連接DG，
則∠DGF為平面AB₁D與側面AB₁所成的角的平面角，可求得DF=

3

4

a，
由△B₁FG～△B₁AA₁，得FG=

3

4

a，∴∠DGF=

π

4

∵D為A₁C₁的中點，∴B₁D⊥A₁C₁，由正三棱錐的性質，AA₁⊥B₁D，∴B₁D⊥平面A₁C
∴B₁D⊥AD，∴∠A₁DA是平面AB₁D與上底面所成的角的平面角，
可求得tan∠A1DA=

2

，∴∠A₁DA=arctan

2

；
（3）過A₁作A₁M⊥AD，∵B₁D⊥平面A₁C，∴B₁D⊥A₁M，∴A₁M⊥平面AB₁D
即A₁M是A₁到平面AB₁D的距離，AD=

3

2

a，∴A₁M=

6

6

a．

點評：本題考查線面角、二面角的求法，點、線、面間距離的計算，及棱柱的結構特征．