Question

數列{a_n}（n∈N^*）中，a₁=a，a_n+1是函數的極小值點．
（Ⅰ）當a=0時，求通項a_n；
（Ⅱ）是否存在a，使數列{a_n}是等比數列？若存在，求a的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）當a=0時，a₁=0，則3a₁＜1²．由f'_n（x）=x²-（3a_n+n²）x+3n²a_n=（x-3a_n）（x-n²）=0，得x₁=3a_n，x₂=n²．由函數的單調性知f_n（x）在x=n²取得極小值．所以a₂=1²=1．因為3a₂=3＜2²，則，a₃=2²=4，因為3a₃=12＞3³，則a₄=3a₃=3×4，又因為3a₄=36＞4²，則a₅=3a₄=3²×4，由此猜測：當n≥3時，a_n=4×3^n-3．然后用數學歸納法證明：當n≥3時，3a_n＞n²．
（Ⅱ）存在a，使數列{a_n}是等比數列．事實上，若對任意的n，都有3a_n＞n²，則a_n+1=3a_n．要使3a_n＞n²，只需對一切n∈N^*都成立．當x≥2時，y'＜0，從而函數在這[2，+∞）上單調遞減，故當n≥2時，數列{b_n}單調遞減，即數列{b_n}中最大項為．于是當a＞時，必有．由此能導出存在a，使數列{a_n}是等比數列，且a的取值范圍為．
解答：解：（I）當a=0時，a₁=0，則3a₁＜1²．
由題設知f'_n（x）=x²-（3a_n+n²）x+3n²a_n=（x-3a_n）（x-n²）．
令f'_n（x）=0，得x₁=3a_n，x₂=n²．
若3a_n＜n²，則
當x＜3a_n時，f'_n（x）＞0，f_n（x）單調遞增；
當3a_n＜x＜n²時，f'_n（x）＜0，f_n（x）單調遞減；
當x＞n²時，f'_n（x）＞0，f_n（x）單調遞增．
故f_n（x）在x=n²取得極小值．
所以a₂=1²=1
因為3a₂=3＜2²，則，a₃=2²=4
因為3a₃=12＞3³，則a₄=3a₃=3×4，
又因為3a₄=36＞4²，則a₅=3a₄=3²×4，
由此猜測：當n≥3時，a_n=4×3^n-3．
下面先用數學歸納法證明：當n≥3時，3a_n＞n²．
事實上，當n=3時，由前面的討論知結論成立．
假設當n=k（k≥3）時，3a_k＞k²成立，則由（2）知，a_k+1=3a_k＞k²，
從而3a_k+1-（k+1）²＞3k²-（k+1）²=2k（k-2）+2k-1＞0，
所以3a_k+1＞（k+1）²．
故當n≥3時，3a_n＞n²成立．
于是，當n≥3時，a_n+1=3a_n，而a₃=4，因此a_n=4×3^n-3．
綜上所述，當a=0時，a₁=0，a₂=1，a_n=4×3^n-3（n≥3）．

（Ⅱ）存在a，使數列{a_n}是等比數列．
事實上，若對任意的n，都有3a_n＞n²，則a_n+1=3a_n．即數列{a_n}是首項為a，公比為3的等比數列，且a_n=a•3^n-3．
而要使3a_n＞n²，即a•3ⁿ＞n²對一切n∈N^*都成立，只需對一切n∈N^*都成立．
記，則，．
令，則．
因此，當x≥2時，y'＜0，從而函數在這[2，+∞）上單調遞減，
故當n≥2時，數列{b_n}單調遞減，即數列{b_n}中最大項為．
于是當a＞時，必有．這說明，當時，數列a_n是等比數列．
當a=時，可得，而3a₂=4=2²，由（3）知，f₂（x）無極值，不合題意，
當時，可得a₁=a，a₂=3a，a₃=4，a₄=12，…，數列{a_n}不是等比數列．
當時，3a=1=1²，由（3）知，f₁（x）無極值，不合題意．
當時，可得a₁=a，a₂=1，a₃=4，a₄=12，，數列{a_n}不是等比數列．
綜上所述，存在a，使數列{a_n}是等比數列，且a的取值范圍為．
點評：本題考查數列的性質和應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意公式的合理運用．