Question

已知函數f（x）是定義在R上的偶函數，且當x≥0時，f（x）=x|x-m|（m＞0），
（1）當x＜0時，求f（x）的表達式；
（2）求f（x）在區間[0，2]上的最大值g（m）的表達式；
（3）當m=2時，記h（x）=f（f（x））-a（a∈R），試求函數y=h（x）的零點個數．

Answer 1

考點：根的存在性及根的個數判斷,函數奇偶性的性質

專題：計算題,作圖題,函數的性質及應用

分析：（1）由偶函數的性質可解得f（x）=f（-x）=（-x）|-x-m|=-x|x+m|；
（2）化簡f（x）=

x(x-m)，x≥m x(m-x)，0≤x＜m

；從而分類討論函數的最值；
（3）當m=2時，f（x）=

x|x-2|，x≥0 -x|x+2|，x＜0

；f（f（x））=

x|x-2||x|x-2|-2|，x≥0 -x|x+2||x|x+2|+2|，x＜0

，h（x）=f（f（x））-a的零點個數即函數h（x）與函數y=a的交點的個數，
作函數的圖象求解．

解答： 解：（1）當x＜0時，-x＞0；
∵f（x）是定義在R上的偶函數，
∴f（x）=f（-x）=（-x）|-x-m|=-x|x+m|；
（2）f（x）=

x(x-m)，x≥m x(m-x)，0≤x＜m

；
①當0＜m≤2時，
當0＜x＜m時，當x=

m

2

時，f（x）_max=

m2

4

；
當x≥m時，x=2時有最大值f（2）=2（2-m）；
由

m2

4

-2（2-m）=

m2+8m-16

4

＜0解得，
0＜m＜4

2

-4；
故當0＜m＜4

2

-4時，f（x）_max=2（2-m）；
當4

2

-4≤m≤2時，f（x）_max=

m2

4

；
當2＜m＜4時，當x=

m

2

時，f（x）_max=

m2

4

；
當m≥4時，當x=2時有最大值為f（2）=2（m-2）；
綜上所述，g（m）=

2(2-m)，0＜m＜4 2 -4 m2 4 ，4 2 -4≤m＜4 2(m-2)，m≥4

；
（3）當m=2時，f（x）=

x|x-2|，x≥0 -x|x+2|，x＜0

；
f（f（x））=

x|x-2||x|x-2|-2|，x≥0 -x|x+2||x|x+2|+2|，x＜0

，
h（x）=f（f（x））-a的零點個數即函數h（x）與函數y=a的交點的個數，
作函數h（x）與函數y=a的圖象如下，

當a=1時，有6個交點，當a＞1時，有兩個交點，
當0＜a＜1時，有10個交點，
當a=0時，有5個交點，
當a＜0時，沒有交點；
即當a=1時，函數y=h（x）的零點個數為6，
當a＞1時，函數y=h（x）的零點個數為2，
當0＜a＜1時，函數y=h（x）的零點個數為10，
當a=0時，函數y=h（x）的零點個數為5，
當a＜0時，函數y=h（x）沒有零點．

點評：本題考查了函數的性質的判斷與應用及函數的圖象的應用，屬于基礎題．