Question

【題目】選修4-4：坐標系與參數方程

在平面直角坐標系中，已知曲線的參數方程為（， 為參數）.以坐標原點為極點， 軸的正半軸為極軸，取相同的長度單位建立極坐標系，直線的極坐標方程為.

（Ⅰ）當時，求曲線上的點到直線的距離的最大值；

（Ⅱ）若曲線上的所有點都在直線的下方，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：（1）將直線的極坐標方程化為普通方程，進而由圓的參數方程得曲線上的點到直線的距離， ，利用三角函數求最值即可；

（2）曲線上的所有點均在直線的下方，即為對，有恒成立，即（其中）恒成立，進而得.

試題解析：

（1）直線的直角坐標方程為.

曲線上的點到直線的距離，

，

當時， ，

即曲線上的點到直線的距離的最大值為.

（2）∵曲線上的所有點均在直線的下方，

∴對，有恒成立，

即（其中）恒成立，

∴.

又，∴解得，

∴實數的取值范圍為.