Question

橢圓G：（a＞b＞0）的兩個焦點F₁（-c，0），F₂（c，0），M是橢圓上一點．
（1）若M的坐標為（2，0），橢圓的離心率，求a，b的值；
（2）若．
①求橢圓的離心率e的取值范圍；
②當橢圓的離心率e取最小值時，點N（0，3）橢圓上的點的最遠距離為，求此時橢圓G的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意知，M的坐標為（2，0）即橢圓的長軸上的頂點，故 a=2，再由離心率的值求出半焦距c，從而求出b，即得
橢圓的標準方程．
（2）①設M的坐標，由若 和橢圓的方程，解出M的橫坐標的平方，再利用M的橫坐標的平方
大于或等于0，且小于或等于a²；，求出離心率的平方的范圍，進而得到離心率的范圍．
②當時，設橢圓G的方程（含參數b），設H（x，y）為橢圓上一點，化簡|HN|² ，利用其最大值，分類討論求出參數
b的值，即得橢圓G的方程．
解答：解：（1）由橢圓G：（a＞b＞0）及橢圓上的一點M的坐標為（2，0）
可知a=2，
又 =，∴c=，b=1，∴橢圓的方程為  ．
（2）①設M（x，y），
∴
∵，
∴（x+c，y）•（x-c，y）=0，，
∵0≤x≤a²
∴，解得  ．
∴
②當時，設橢圓G的方程為
設H（x，y）為橢圓上一點，則|HN|²；；=x²+（y-3）²；；=-（y+3）²+2b²+18，（-b≤y≤b），
若0＜b＜3，|HN|²的最大值b²+6b+9=50得    （舍去），
若b≥3，|HN|²的最大值2b²+18=50得b²=16，∴所求的橢圓的方程為   ．
點評：本題考查用待定系數法求橢圓的標準方程，利用兩個向量的數量積公式及橢圓的性質解決具體問題，體現了分類討論的數學思想．