Question

已知橢圓G：（a＞b＞0）的離心率，且經過點．
（Ⅰ）求橢圓G的方程；
（Ⅱ）設直線與橢圓G交于A、B兩點，線段AB的垂直平分線交x軸于點T，當m變化時，求△TAB面積的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據橢圓的離心率，且經過點，結論方程組，即可求得橢圓G的方程；
（Ⅱ）直線與橢圓方程聯立，利用韋達定理，進而可表示出三角形的面積，根據橢圓與直線有兩個不同的交點，確定m的范圍，即可求得△TAB面積的最大值．
解答：解：（Ⅰ）由已知，解得----（2分）
∴橢圓G的方程為：．----（4分）
（Ⅱ）消去y得：x²+mx+m²-3=0，----（5分）
∵橢圓與直線有兩個不同的交點，∴△＞0，即m²＜4，----（6分）
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中點M（x，y）
∴x₁+x₂=-m，，
∴，
，，∴----（8分）
設T（t，0），∵MT⊥AB，∴K_ATK_AB=-1，解得，----（10分）
∴，，
∴，
∵0＜m²＜4----（12分）
∴當m²=2即時，△TAB面積最大為----（14分）
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查三角形面積的計算，正確表示三角形的面積是關鍵．