Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左右焦點(diǎn)為F₁、F₂，點(diǎn)P為橢圓上一點(diǎn)，△F₁PF₂的重心、內(nèi)心分別為G、I，若

IG

=λ(1，0)(λ≠0)，則橢圓的離心率e等于（　　）

• A．

  1

  2

• B．

  2

  2

• C．

  1

  4

• D．

  5 -1

  2

Answer 1

分析：在焦點(diǎn)△F₁PF₂中，設(shè)P（x₀，y₀），由三角形重心坐標(biāo)公式，可得重心G的縱坐標(biāo)，因?yàn)?span id="p9vv5xb5" class="MathJye">

IG

=λ(1，0)(λ≠0)，故內(nèi)心I的縱坐標(biāo)與G相同，最后利用三角形F₁PF₂的面積等于被內(nèi)心分割的三個(gè)小三角形的面積之和建立a、b、c的等式，即可解得離心率

解答：解：設(shè)P（x₀，y₀），∵G為△F₁PF₂的重心，
∴G點(diǎn)坐標(biāo)為 G（

x0

3

，

y0

3

），
∵

IG

=λ(1，0)(λ≠0)，∴IG∥x軸，
∴I的縱坐標(biāo)為

y0

3

，
在焦點(diǎn)△F₁PF₂中，|PF₁|+|PF₂|=2a，|F₁F₂|=2c
∴S△F1PF2=

1

2

•|F₁F₂|•|y₀|
又∵I為△F₁PF₂的內(nèi)心，∴I的縱坐標(biāo)

y0

3

即為內(nèi)切圓半徑，
內(nèi)心I把△F₁PF₂分為三個(gè)底分別為△F₁PF₂的三邊，高為內(nèi)切圓半徑的小三角形
∴S△F1PF2=

1

2

（|PF₁|+|F₁F₂|+|PF₂|）|

y0

3

|
∴

1

2

•|F₁F₂|•|y₀|=

1

2

（|PF₁|+|F₁F₂|+|PF₂|）|

y0

3

|
即

1

2

×2c•|y₀|=

1

2

（2a+2c）|

y0

3

|，
∴2c=a，
∴橢圓C的離心率e=

c

a

=

1

2

故選A

點(diǎn)評：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何意義，重心坐標(biāo)公式，三角形內(nèi)心的意義及其應(yīng)用，橢圓離心率的求法．解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握橢圓的有關(guān)數(shù)值的關(guān)系以及結(jié)合橢圓的形狀和幾何意義兩次表達(dá)三角形的面積．