Question

如圖橢圓G：（a＞b＞0）的兩個焦點為F1（-c，0）、F2（c，0）和頂點B1、B2構成面積為32的正方形．
（1）求此時橢圓G的方程；
（2）設斜率為k（k≠0）的直線l與橢圓G相交于不同的兩點A、B、Q為AB的中點，且P（0，-）．問：A、B兩點能否關于直線PQ對稱．若能，求出kk的取值范圍；
若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知可得b=c且a²=32，可求橢圓方程
（2）設直線L的方程為y=kx+m，代入．由直線l與橢圓相交于不同的兩點可得△＞0即m²＜32k²+16，要使A、B兩點關于過點P、Q的直線對稱，必須，利用方程的根與系數的關系代入得，從而可求k得范圍
解答：解（1）：由已知可得b=c且a²=32，
所以．∴所求橢圓方程為．
（2）設直線L的方程為y=kx+m，代入．

得（1+2k²）x²+4kmx+（2m²-32）=0．
由直線l與橢圓相交于不同的兩點知△=（4km）²-4（1+2k²）（2m²-32）＞0，
m²＜32k²+16．②
要使A、B兩點關于過點P、Q的直線對稱，必須
設A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），則，
∵
解得．③
由②、③得
∴，
∵k²＞0，∴
∴．．
故當時，A、B兩點關于過點P、Q的直線對稱．
點評：本題主要考查了利用橢圓的性質求解橢圓的方程，直線與圓錐曲線的位置關系的綜合應用，點關于直線的對稱得性質的應用．