Question

在平面直角坐標系xOy中，橢圓G的中心為坐標原點，左焦點為F₁（-1，0），P為橢圓G的上頂點，且∠PF₁O=45°．
（Ⅰ）求橢圓G的標準方程；
（Ⅱ）已知直線l₁：y=kx+m₁與橢圓G交于A，B兩點，直線l₂：y=kx+m₂（m₁≠m₂）與橢圓G交于C，D兩點，且|AB|=|CD|，如圖所示．（ⅰ）證明：m₁+m₂=0；（ⅱ）求四邊形ABCD的面積S的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據F₁（-1，0），∠PF₁O=45°，可得b=c=1，從而a²=b²+c²=2，故可得橢圓G的標準方程；
（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄）．
（ⅰ）直線l₁：y=kx+m₁與橢圓G聯立，利用韋達定理，可求AB，CD的長，利用|AB|=|CD|，可得結論；
（ⅱ）求出兩平行線AB，CD間的距離為d，則 ，表示出四邊形ABCD的面積S，利用基本不等式，即可求得四邊形ABCD的面積S取得最大值．
解答：（Ⅰ）解：設橢圓G的標準方程為．
因為F₁（-1，0），∠PF₁O=45°，所以b=c=1．
所以，a²=b²+c²=2．…（2分）
所以，橢圓G的標準方程為．…（3分）
（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄）．
（ⅰ）證明：由消去y得：．
則，…（5分）
所以 ===．
同理 ．…（7分）
因為|AB|=|CD|，
所以 ．
因為 m₁≠m₂，所以m₁+m₂=0．…（9分）
（ⅱ）解：由題意得四邊形ABCD是平行四邊形，設兩平行線AB，CD間的距離為d，則 ．因為 m₁+m₂=0，所以 ．…（10分）
所以 =．
（或）
所以 當時，四邊形ABCD的面積S取得最大值為．…（12分）
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查弦長的計算，考查三角形的面積，同時考查利用基本不等式求最值，正確求弦長，表示出四邊形的面積是解題的關鍵．