Question

14．甲、乙兩地相距200千米，汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過50千米/時．已知汽車每小時的運輸成本（以元為單位）由可變部分和固定部分組成：可變部分與速度v（千米/時）的平方成正比，比例系數為0.02；固定部分為50（元/時）．
（1）把全程運輸成本y（元）表示為速度v（千米/時）的函數，并指出定義域；
（2）用單調性定義證明（1）中函數的單調性，并指出汽車應以多大速度行駛可使全程運輸成本最小？

Answer 1

分析 （1）依題意，汽車從甲地勻速行駛到乙地的時間為$\frac{200}{v}$小時，全程運輸成本y（元）與速度v（千米/時）的函數關系是：y=（50+0.02v²）$•\frac{200}{v}$，v∈（0，50]．
（2）令f（v）=$\frac{10000}{v}$+4v，利用單調性的定義即可證明．

解答 解：（1）依題意，汽車從甲地勻速行駛到乙地的時間為$\frac{200}{v}$小時，
全程運輸成本y（元）與速度v（千米/時）的函數關系是：y=（50+0.02v²）$•\frac{200}{v}$=$\frac{10000}{v}$+4v，v∈（0，50]．
（2）令f（v）=$\frac{10000}{v}$+4v，設0＜v₁＜v₂≤50，
則f（v₁）-f（v₂）=$\frac{10000}{{v}_{1}}$+4v₁-$\frac{10000}{{v}_{2}}$-4v₂=$\frac{4（{v}_{1}-{v}_{2}）（{v}_{1}{v}_{2}-2500）}{{v}_{1}{v}_{2}}$，
由0＜v₁＜v₂≤50，可得v₁-v₂＜0，0＜v₁v₂＜2500，
∴f（v₁）-f（v₂）＜0，即f（v₁）＜f（v₂）．
則f（v）在（0，50]上單調遞減，f（v）_min=f（50），
答：為了使全程運輸成本最小，汽車應以50千米/時的速度行駛．

點評 本題考查了函數的應用、函數的單調性的定義及其應用、不等式的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．