Question

各項(xiàng)均不相等的等差數(shù)列的前四項(xiàng)的和為，且成等比數(shù)列．

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和；

（2）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，若對任意的正整數(shù)n都成立，求實(shí)數(shù)λ的最小值．

 

Answer 1

（1），；（2）．

【解析】

試題分析：（1）由已知等差數(shù)列的前四項(xiàng)的和為，且成等比數(shù)列可得關(guān)于首項(xiàng)和公差的一個(gè)元一次方程組,解此方程組,再注意各項(xiàng)均不相等即,即可求得首項(xiàng)和公差,進(jìn)而可寫出通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和；（2）數(shù)列的通項(xiàng),所以利用裂項(xiàng)相消求和法可求得數(shù)列的前n項(xiàng)和,由對恒成立,得到一個(gè)關(guān)于的不等式,將分離出來,轉(zhuǎn)化為求關(guān)于的函數(shù)的最值即可得到實(shí)數(shù)λ的最小值．

試題解析：（1）設(shè)數(shù)列的公差為，由已知得 2分

解得或

由數(shù)列的各項(xiàng)均不相等，所以 3分

所以，解得. 4分

故， 6分

（2）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015021506034134554515/SYS201502150603517209305217_DA/SYS201502150603517209305217_DA.028.png"> 8分

所以 10分

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015021506034134554515/SYS201502150603517209305217_DA/SYS201502150603517209305217_DA.016.png">對恒成立．即，，對恒成立．

等價(jià)于對恒成立． 11分

又，且在時(shí)取等號(hào) 13分

所以實(shí)數(shù)的最小值為. 14分

考點(diǎn)：1.等差數(shù)列;2.數(shù)列前項(xiàng)和的求法;3.不等式的恒成立.