Question

（本題滿分16分）

一走廊拐角下的橫截面如圖所示，已知內壁FG和外壁BC都是半徑為1m的四分之一圓弧，AB，DC分別與圓弧BC相切于B、C兩點，EF∥AB，GH∥CD，且兩組平行墻壁間的走廊寬度都是1m.

若水平放置的木棒MN的兩個端點M、N分別在外壁CD和AB上，且木棒與內壁圓弧相切于點P。設，試用表示木棒MN和長度。

若一根水平放置的木棒能通過該走廊拐角處，求木棒長度的最大值。

Answer 1

 (1)如圖，設圓弧所在的圓的圓心為，過點作垂線，垂足為點，且交或其延長線與于，并連接，再過點作的垂線，垂足為．

在  中，因為，，

所以．

因為與圓弧切于點，所以，

在，因為，，

所以，，

①若在線段上，則，

在  中，，

因此.

②若在線段的延長線上，則，

在  中，，

因此.

．………………………………………………………8分

（2）設，則，

因此．因為，又，所以恒成立，

因此函數在是減函數，所以，

即．

答：一根水平放置的木棒若能通過該走廊拐角處，則其長度的最大值為．

……………………………………………………………………………………16分