Question

1．已知圓C₁：（x-1）²+y²=$\frac{1}{2}$與圓C₂的公切線是直線y=x和y=-x，且兩圓的圓心距是3，求圓C₂的方程．

Answer 1

分析 由題意，圓C₂的圓心C₂在x軸或y軸上，分類討論，求出圓心與半徑，即可得出結論．

解答 解：由題意，圓C₂的圓心C₂在x軸或y軸上，
①設C₂（a，0），則|a-1|=3，a=4或-2，
（4，0）到直線y=x的距離是$\frac{4}{\sqrt{2}}$=2$\sqrt{2}$，（-2，0）到直線y=x的距離是$\frac{2}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴圓C₂的方程是：（x-4）²+y²=8或：（x+2）²+y²=2；
②設C₂（0，b），則$\sqrt{1+{b}^{2}}$=3，∴b=$±2\sqrt{2}$，
（0，$±2\sqrt{2}$）到直線y=x的距離是$\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$=2，
∴圓C₂的方程是：x²+（y-2$\sqrt{2}$）²=4或x²+（y+2$\sqrt{2}$）²=4．

點評 本題考查圓的方程，考查分類討論的數學思想，屬于中檔題．