Question

某幾何體的三視圖如下，其中俯視圖的內外均為正方形，正視圖和側視圖是全等的等腰梯形，求此幾何體的體積和表面積．

Answer 1

分析：由幾何體的三視圖可得幾何體是正四棱臺，連接BD，B′D′，過B′分別作下底面及BC的垂線交BD于E，BC于F，根據上下底面正方形的邊長可得：BE=

2

，BF=1，再根據幾何體的高為3，可得正四棱臺的斜高與正四棱臺的高，進而根據有關的公式求出幾何體的表面積與體積．

解答：解：有三視圖得幾何體的直觀圖如圖：
∵正四棱臺的上、下底面邊長分別為2、4，
∴BF=1，BE=

4 2 -2 2

2

=

2

，
∵棱臺的高為3，
∴B′E=3，側棱BB′=

11

，斜高B′F=

10

，
∴體積V=

1

3

(42+22+2•4)•3=28，
表面積S=2²+4²+4×

2+4

2

×

10

=20+12

10

．

點評：本題借助幾何體的三視圖考查幾何體表面積個計算，體積的計算，考查了學生的空間想象能力與識圖，用圖能力．