Question

【題目】（1）證明：；

（2）證明：對任何正整數n，存在多項式函數，使得對所有實數x均成立，其中均為整數，當n為奇數時，，當n為偶數時，；

（3）利用（2）的結論判斷是否為有理數？

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）不是

【解析】

（1），利用兩角和的正弦和二倍角公式，進行證明；（2）對分奇偶，即和兩種情況，結合兩角和的余弦公式，積化和差公式，利用數學歸納法進行證明；（3）根據（2）的結論，將表示出來，然后判斷其每一項都為無理數，從而得到答案.

（1）

所以原式得證.

（2）為奇數時，

時，，其中，成立

時，

，其中，成立

時，

，其中，成立，

則當時，

所以得到

因為均為整數，所以也均為整數，

故原式成立；

為偶數時，

時，，其中，

時，

，

其中，成立，

時，

，

其中，成立，

則當時，

所以得到

其中，

因為均為整數，所以也均為整數，

故原式成立；

綜上可得：對任何正整數，存在多項式函數，使得對所有實數均成立，其中，均為整數，當為奇數時，，當為偶數時，；

（3）由（2）可得

其中均為有理數，

因為為無理數，所以均為無理數，

故為無理數，

所以不是有理數.