Question

過點（-1，-6）的直線l與拋物線y²=4x交于A，B兩點，若P(

9

2

，0)，|AP|=|BP|，求l的斜率．

Answer 1

分析：先設A，B的坐標，從而可得AB中點C的坐標，然后設直線l的斜率進而可表示出直線方程，然后聯立直線方程和拋物線方程消去x得關于y的一元二次方程，可得到兩根之和，再由|AP|=|BP|可得到直線與直線PC互相垂直，進而兩直線的斜率之積等于-1，可得到關于k的方程，最后可求得k的值．

解答：解：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中點為C（

x1+x2

2

，

y1+y2

2

）
由題意可知直線l的斜率一定存在，
不妨設為k，則直線l的方程為：y+6=k（x+1）
聯立直線l與拋物線方程得到：y2-

4

k

y+4-

24

k

=0，
△＞0，k∈(3-

10

，3+

10

)
∴y1+y2=

4

k

由|AP|=|BP|，可得到AB⊥PC，
∴k×

y1+y2 2

x1+x2 2 - 9 2

=-1
整理可得7k²-12k-4=0
∴k=2或-

2

7

（舍去）．
直線的斜率為：2．

點評：本題主要考查直線與拋物線的綜合問題．直線與圓錐曲線的綜合題是高考的重點題，要著重復習．