Question

已知函數f（x）=x³+mx²+nx-2的圖象過點（-1，-6），且函數g（x）=f'（x）+6x的圖象的對稱軸為y軸
（I）求函數y=f（x）的解析式及它的單調遞減區間
（II）若函數y=f（x）的極小值在區間（a-1，a+1）內，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由函數f（x）得圖象過（-1，-6）可得m-n=-3，則g（x）=f'（x）+6x=3x²+（2m+6）x+n為偶函數可求m
由f'（x）＜0可求y=f（x）的單調遞減區間
（2）由f'（x）=0可得x=0或x=2，由函數y=f（x）的極小值在區間（a-1，a+1）內可得-6∈（a-1，a+1），從而可求a得范圍

解答：解：（1）將點（-1，-6）代入，得m-n=-3…（2分）g（x）=f'（x）+6x=3x²+（2m+6）x+n，
由題意得：m=0或m=-3…（4分）
所以f（x）=x³-3x²-2，f'（x）=2x（x-2）＜0⇒0＜x＜2，
故y=f（x）的單調遞減區間是（0，2）…（8分）
（2）由f'（x）=0可得x=0或x=2

x	（-∞，0）	0	（0，2）	2	（2，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	增	極大值-2	減	極小值-6	增

…（10分）
由題意得：

a-1＜-6 a+1＞-6

⇒a∈(-7，-5)…（12分）

點評：本題主要考查了利用函數的導數求解函數的單調區間、極值，屬于函數的導數的基本應用．