Question

已知函數f（x）=x³+mx²+nx-2的圖象過點（-1，-6），且函數g（x）=f′（x）+6x是偶函數．
（Ⅰ）求m、n的值；
（Ⅱ）若a＞0，求函數y=f（x）在區間（a-1，a+1）內的極值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用條件的到兩個關于m、n的方程，求出m、n的值即可．
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的結論，再找函數y=f（x）的導函數大于0和小于0對應的區間，最后分情況討論區間（a-1，a+1）和單調區間的位置關系再得結論．

解答：解：（Ⅰ）由函數f（x）圖象過點（-1，-6），得m-n=-3，①…（1分）
由f（x）=x³+mx²+nx-2，得f′（x）=3x²+2mx+n，…（2分）
則g（x）=f′（x）+6x=3x²+（6+2m）x+n；
而g（x）圖象關于y軸對稱，所以-

2m+6

2×3

=0，所以m=-3，
代入①得n=0．…（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f′（x）=3x（x-2），
令f′（x）=0得x=0或x=2．…（5分）
當x變化時，f′（x）、f（x）的變化情況如下表：

x	（-∞，0）	0	（0，2）	2	…（8分） （2，+∞）
f′（x）	+	0	-	0
f（x）		極大值		極小值

由此可得：
當0＜a＜1時，f（x）在（a-1，a+1）內有極大值f（0）=-2，無極小值；
當a=1時，f（x）在（a-1，a+1）內無極值；
當1＜a＜3時，f（x）在（a-1，a+1）內有極小值f（2）=-6，無極大值；
當a≥3時，f（x）在（a-1，a+1）內無極值．…（11分）
綜上得：當0＜a＜1時，f（x）有極大值-2，無極小值，當1＜a＜3時，有極小值-6，無極大值，當a=1或a≥3時，f（x）無極值．…（12分）

點評：本小題主要考查函數的奇偶性、單調性、極值、導數、不等式等基礎知識，考查運用導數研究函數性質的方法，以及分類與整合、轉化與化歸等數學思想方法，考查分析問題和解決問題的能力．