Question

已知函數y=4^x+2^x+1+5，x∈[0，2]，若t=2^x
（1）若t=2^x，把y寫成關于t的函數，并求出定義域；
（2）求函數的最大值．

Answer 1

解．（1）原函數化為y=（2^x）²+2•2^x+5..（2分）∵t=2^x∴y=t²+2t+5又．（4分）x∈[0，2]∴t∈[1，4]∴y=t²+2t+5函數定義域為t∈[1，4]..（6分）
（2）由（1）知原函數可化為y=t²+2t+5t∈[1，4]（8分）
y=t²+2t+5=（t+1）²+4（10分）
函數在區間[1，4]為增函數，（12分）
當t=4即x=2時，函數取到最大值y_max=29（16分）
分析：把函數變形可得y=（2^x）²+2•2^x+5
（1）由x∈[0，2]可得t=2^x∈[1，4]，把t=2^x代入到①可求y關于t的函數，
（2）由（1）可把已知轉化為求函數y=t²+2t+5在區間[1，4]的最值，配方結合二次函數的最值求解．
點評：本題以指數函數的值域的求解為載體，綜合考查了二次函數在閉區間上的最值的求解，對于二次函數在閉區間上的最值的求解，常先對函數進行配方，然后結合函數的圖象，判斷函數在所給區間上的單調性，從而求出函數的最值．