Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，四邊形ABCD中，AB⊥AD，AB+AD=4，CD=，．

（I）求證：平面PAB⊥平面PAD；

（II）設AB=AP．

　 　 （i）若直線PB與平面PCD所成的角為，求線段AB的長；

　 　 （ii）在線段AD上是否存在一個點G，使得點G到點P，B，C，D的距離都相等？說明理由。

Answer 1

解法一：

（I）因為平面ABCD，

平面ABCD，

所以，

又

所以平面PAD。

又平面PAB，所以平面平面PAD。

（II）以A為坐標原點，建立空間直角坐標系

A— xyz（如圖）

 

在平面ABCD內，作CE//AB交AD于點E，則

在中，DE=，

設AB=AP=t，則B（t，0，0），P（0，0，t）

由AB+AD=4，得AD=4-t，

所以，

（i）設平面PCD的法向量為，

由，，得

取，得平面PCD的一個法向量，

又，故由直線PB與平面PCD所成的角為，得

解得（舍去，因為AD），所以

（ii）假設在線段AD上存在一個點G，使得點G到點P，B，C，D的距離都相等，

設G（0，m，0）（其中）

則，

由得，（2）

由（1）、（2）消去t，化簡得（3）

由于方程（3）沒有實數根，所以在線段AD上不存在一個點G，

使得點G到點P，C，D的距離都相等。

從而，在線段AD上不存在一個點G，

使得點G到點P，B，C，D的距離都相等。

解法二：

（I）同解法一。

（II）（i）以A為坐標原點，建立空間直角坐標系A—xyz（如圖）

 

在平面ABCD內，作CE//AB交AD于E，

則。

在平面ABCD內，作CE//AB交AD于點E，則

在中，DE=，

設AB=AP=t，則B（t，0，0），P（0，0，t）

由AB+AD=4，得AD=4-t，

所以，

 

 

 

 

 

 

 

 

設平面PCD的法向量為，

由，，得

取，得平面PCD的一個法向量，

又，故由直線PB與平面PCD所成的角為，得

解得（舍去，因為AD），

所以

（ii）假設在線段AD上存在一個點G，使得點G到點P，B，C，D的距離都相等，

由GC=CD，得，

從而，即

                                                               

 

 

 

 

 

 

 

 

 

設

，

在中，

這與GB=GD矛盾。

所以在線段AD上不存在一個點G，使得點G到點B，C，D的距離都相等，

從而，在線段AD上不存在一個點G，使得點G到點P，B，C，D的距離都相等。