Question

已知數列{a_n}的前n項和S_n＝2a_n＋1，求證：數列{a_n}是等比數列，并求出通項公式．

Answer 1

答案：
解析：

證明：∵Sn＝2an＋1，∴Sn+1＝2an+1＋1． 　　∴Sn+1－Sn＝(2an+1＋1)－(2an＋1)＝2an+1－2an． 　　∴an+1＝2an．① 　　又∵S1＝a1＝2a1＋1，∴a1＝－1≠0． 　　由①知，an≠0， 　　∴由＝2，知數列{an}是等比數列，an＝－2n－1． 　　思路解析：要證數列是等比數列，關鍵是看an與an－1之比是否為一常數，由題設還需利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)求得an．

提示：

(1)本題證明，關鍵是用等比數列的定義，其中說明an≠0是非常重要的．證明中，也可以寫出Sn－1＝2an－1＋1，從而得到an＝2an－1，只能得到n≥2時，{an}是等比數列，得到n≥2時，an＝－2n－1，再將n＝1時，a1＝－1代入驗證． 　　(2)證明一個數列是等比數列，常用方法是： 　　①要證明一個數列{an}是等比數列，只要證明對于任意自然數n，都等于同一個常數即可． 　　②對于一個數列，除了首項和末項(有窮數列)外，任何一項都是它的前后兩項的等比中項，則此數列是等比數列．