Question

【題目】已知函數

（1）若，證明：；

（2）若，且，求的取值范圍；

（3）若，且方程有個不同的根，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）

【解析】

（1）由，可得，將等式兩邊分別代入解析式即可證明.

（2）根據題意可得函數為增函數，只需在恒成立，分離參數即可求解.

（3）利用導數確定函數的單調區間，作出函數的大致圖像，數形結合即可求解.

（1）當時，則，

所以左邊，

右邊

，即證.

（2）由，，

則函數在上單調遞增，

即在上恒成立，

即在上恒成立，只需，

設，由，所以，

所以.

（3）當時，

則，

令，解得或；

令，解得，

所以函數的單調遞增區間為，，

函數的單調遞減區間為，

且，，

在同一坐標系中作出與的圖像如圖所示：

方程有個不同的根，由圖像可知：