Question

3．已知二次函數y=g（x）的導函數的圖象與直線y=2x平行，且y=g（x）在x=-1處取得最小值m-1（m≠0）．設f（x）=$\frac{g（x）}{x}$．
（1）求二次函數y=g（x）的解析式（假設m為已知常數）；
（2）若曲線y=f（x）上的點P[到點Q（0，2）的距離的最小值為$\sqrt{2}$，求m的值；
（3）k（k∈R）如何取值時，函數y=f（x）-kx存在零點，并求出零點．

Answer 1

分析 （1）根據函數的形式及函數的最小值，設出f（x），求出g（x）的導函數，根據導函數是函數的斜率，列出方程，求出a，m的值．
（2）先根據二次函數的頂點式設出函數g（x）的解析式，然后對其進行求導，根據g（x）的導函數的圖象與直線y=2x平行求出a的值，進而可確定函數g（x）、f（x）的解析式，然后設出點P的坐標，根據兩點間的距離公式表示出|PQ|，再由基本不等式表示其最小值即可．
（3）先根據（1）的內容得到函數y=f（x）-kx的解析式，即（1-k）x²+2x+m=0，然后先對二次項的系數等于0進行討論，再當二次項的系數不等于0時，即為二次方程時根據方程的判別式進行討論即可得到答案．

解答 解：（1）依題可設f（x）=a（x+1）²+m-1（a≠0），
則f′（x）=2ax+2a；
又f′（x）的圖象與直線y=2x平行   
∴2a=2     
解得a=1
∵y=f（x）在x=-1處取得最小值為0．
∴m-1=0
∴m=1
∴f（x）=x²+2x+1，
（2）依題可設g（x）=a（x+1）²+m-1（a≠0），則g'（x）=2a（x+1）=2ax+2a；
又g'（x）的圖象與直線y=2x平行∴2a=2∴a=1
∴g（x）=（x+1）²+m-1=x²+2x+m，f（x）=$\frac{g（x）}{x}$，
設P（x_o，y_o），則|PQ|²=x₀²+（y0-2）2=x₀²+（x0+$\frac{m}{{x}_{0}}$）2=2x₀²+$\frac{{m}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}}$+2m≥2$\sqrt{2{m}^{2}}$+2m=2$\sqrt{2}$|m|+2m
當且僅當2x₀²=$\frac{{m}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}}$時，|PQ|²取得最小值，即|PQ|取得最小值$\sqrt{2}$
當m＞0時，$\sqrt{（2\sqrt{2}+2）m}$=$\sqrt{2}$解得m=$\sqrt{2}$-1
當m＜0時，$\sqrt{（-2\sqrt{2}+2）m}$=$\sqrt{2}$解得m=-$\sqrt{2}$-1
（2）由y=f（x）-kx=（1-k）x+$\frac{m}{x}$+2=0（x≠0），得（1-k）x²+2x+m=0（*）
當k=1時，方程（*）有一解x=-$\frac{m}{2}$，函數y=f（x）-kx有一零點x=-$\frac{m}{2}$；
當k≠1時，方程（*）有二解?△=4-4m（1-k）＞0，
若m＞0，k＞1-$\frac{1}{m}$，
函數y=f（x）-kx有兩個零點x=$\frac{-2±\sqrt{4-4m（1-k）}}{2（1-k）}$，即x=$\frac{1±\sqrt{1-m（1-k）}}{k-1}$；
若m＜0，k＜1-$\frac{1}{m}$，
函數y=f（x）-kx有兩個零點x=$\frac{-2±\sqrt{4-4m（1-k）}}{2（1-k）}$，即x=$\frac{1±\sqrt{1-m（1-k）}}{k-1}$；
當k≠1時，方程（*）有一解?△=4-4m（1-k）=0，k=1-$\frac{1}{m}$，
函數y=f（x）-kx有一零點x=$\frac{1}{k-1}$=-m
綜上，當k=1時，函數y=f（x）-kx有一零點x=-$\frac{m}{2}$；
當k＞1-$\frac{1}{m}$（m＞0），或k＜1-$\frac{1}{m}$（m＜0）時，
函數y=f（x）-kx有兩個零點即x=$\frac{1±\sqrt{1-m（1-k）}}{k-1}$；
當k=1-$\frac{1}{m}$時，函數y=f（x）-kx有一零點x=$\frac{1}{k-1}$=-m．

點評 本題主要考查二次函數的頂點式、導數的幾何意義、函數零點與方程根的關系．主要考查基礎知識的綜合運用和學生的計算能力．