Question

【題目】四棱錐中，平面，底面四邊形為直角梯形，，，，.

（Ⅰ）求證：平面平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值；

（Ⅲ）為中點，在四邊形所在的平面內是否存在一點，使得平面，若存在，求三角形的面積；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（I）詳見解析；（II）；（III）存在，理由見解析，三角形的面積為.

【解析】

（I）通過證明，證得平面，由此證得平面平面.

（II）建立空間直角坐標系，利用平面和平面的法向量，求得二面角的余弦值.

（III）先假設存在符合題意的，然后利用向量的數量積運算，求得點的坐標，由此證得點存在，并求得三角形的面積.

（I）由于平面，所以，由于，所以平面，由于平面，所以平面平面.

（II）由已知條件可知兩兩垂直，以為原點建立空間直角坐標系，則

,.依條件知是平面的一個法向量.設是平面的法向量，，由，令，得.設二面角的平面角為，則.

（III）假設存在點滿足條件，設，則，，所以，解得，所以存在滿足條件，此時.