Question

設a₀為常數，且a_n=3^n-1-2a_n-1(nÎN)。

（1）證明對任意n³1，；

（2）假設對任意n³1有a_n>a_n-1，求a₀的取值范圍。

 

Answer 1

答案：
解析：

（1）證法一：①當n=1時，由已知a1=1-2a0，等式成立； ②假設當n=k(k³1)等式成立，則，那么 。也就是說，當n=k+1時，等式也成立。根據①和②，可知等式對任何nÎN，成立。 證法二：如果設an=3n-1-2(an-1-a3n-1)，用an=3n-1-2an-1代入，可解出。所以是公比為-2，首項為的等比數列。∴ 即。 （2）證法一：由an通項公式。 ∴ an>an-1(nÎN)等價于                            ① （i）當n=2k-1，k=1，2，…時，①式即為，即為                                                             ② ②式對k=1，2，…都成立，有。 （ii）當n=2k，k=1，2，…時，①式即為。即為  ③，③式對k=1，2，…都成立，有。綜上，①式對任意nÎN*成立，有。故a0的取值范圍為。 證法二：如果an>an-1(nÎN*)成立，特別取n=1，2有a1-a0=1-3a0>0。a2-a1=6a0>0。因此。下面證明當時，對任意nÎN*，an-an-1>0。由an的能項公式5(an- an-1)=2´3n-1+(-1)n-13´2n-1+(-1)n´5´3´2n-1a0。 （i）當n=2k-1，k=1，2，…時，5(an-an-1)=2´3n-1+3´2n-1-5´3´2n-1a0>2´2n-1+3´ 2n-1-5´3´2n-1=0 （ii）當n=2k，k=1，2，…時，5(an-a n-1)=2´3n-1-3´2n-1+5´3´2n-1a0>2´3n-1-3´ 2n-1³0。故a0的取值范圍為。